Resumen Las distribuciones de probabilidad asimétricas han sido ampliamente estudiadas por diversos autores en las últimas décadas. Se ha tenido especial interés en familias de distribuciones flexibles con la capacidad de tener en cuenta grados de asimetría y curtosis mayores que las distribuciones el ampliamente conocidas en teoría estadística. Si bien la mayoría de las nuevas distribuciones se ajustan a datos unimodales y unas pocas a datos bimodales, en las propuestas bimodales se han encontrado problemas de singularidad en las matrices de información. Por lo tanto, en este artículo se desarrollan extensiones de la familia de distribuciones alfa-potencia, que tienen matriz de información no singular. Las nuevas propuestas se basan en las distribuciones bimodal-normal y bimodal elíptica sesgada-normal. Estas nuevas extensiones permiten modelar datos bimodales asimétricos, que se encuentran comúnmente en varias áreas de interés científico. También se estudian en detalle las propiedades de estas nuevas distribuciones de probabilidad, y se realiza el proceso de inferencia estadística para estimar los parámetros de los modelos propuestos. La convergencia estocástica para el vector estimador de máxima verosimilitud (EMV) se puede encontrar debido a la no singularidad de la matriz de información esperada en el soporte correspondiente. También introdujimos extensiones de los modelos asimétrico bimodal normal y bimodal elíptico sesgado-normal para las situaciones en las que los datos presentan censura. También se presenta un pequeño estudio de simulación para evaluar las propiedades del EMV y, finalmente, se presentan dos aplicaciones a conjuntos de datos reales con fines ilustrativos.

Abstract Asymmetric probability distributions have been widely studied by various authors in recent decades. Special interest has been had families of flexible distributions with the capability to have into account degree of skewness and kurtosis greater than the cl 1 distributions widely known in statistical theory. While, most of the new distributions fit unimodal data, and a few fit bimodal data, in the bimodal proposals, singularity problems have been found in the information matrices. Therefore, in this paper, extensions of the alpha-power family of distributions are developed, which have non-singular information matrix. The new proposals are based on the bimodal-normal and bimodal elliptical skew-normal distributions. These new extensions allow modeling asymmetric bimodal data, which are commonly found in several areas of scientific interest. The properties of these new distributions of probability are also studied in detail, and the statistical inference process is carried out to estimate the parameters of the proposed models. The stochastic convergence for the maximum likelihood estimator (MLE) vector can be found due to the non-singularity of the expected information matrix in the corresponding support. We also introduced extensions of the asymmetric bimodal normal and bimodal elliptical skew-normal models for the situations in which the data present censorship. A small simulation study to evaluate the properties of the MLE is also presented and, finally, two applications to real data set are presented for illustrative purposes.

Abstract This paper introduce two new families of distributions that allow fitting unimodal, bimodal or trimodal data sets. Statistical properties such as distribution function, moments, moment generating function and stochastic representation of these new families are studied in details. The problem of estimating parameters is addressed by considering the maximum likelihood method and Fisher information matrices are derived. A small Monte Carlo simulation study is conducted to examine the performance of the obtained estimators. The methodology developed is illustrated with three real data applications.

Abstract In this paper, we propose the power Student-t regression model for censored (limited) observations which extends the Student-t censored regression model. This extension is based on the asymmetric and heavy-tailed power Student-t distribution. The score functions and expected information matrix are given as well as the process for estimating the parameters in the model is discussed by using the likelihood approach. Two simulation studies are conducted to evaluate parameter recovery and properties of the model and finally, two applications to a real data set are reported to demonstrate the usefulness of this new methodology.

Resumen. La distribución de probabilidad propuesta por Birnbaum y Saunders se ha usado con bastante eficacia para modelar tiempos de falla de materiales sujetos a la fátiga. En este artículo definimos una extensión de la distribución Birnbaum-Saunders clásica sustituyendo la distribución normal por la distribución potencia t de Student. La nueva distribución es más flexible que la distribución Birnbaum-Saunders clásica en términos de asimetría y curtosis. Presentamos los estimadores de máxima verosimilitud de los parámetros del modelo y su modelo de regresión asociado. El análisis de dos aplicaciones con datos reales revelan una superioridad del nuevo modelo con relación a otros modelos existentes en la literatura

Abstract: The fatigue life distribution proposed by Birnbaum and Saunders has been used quite effectively to model times to failure for materials subject to fatigue. In this article, we introduce an extension of the classical Birnbaum-Saunders distribution substituting the normal distribution by the power Student t distribution. The new distribution is more flexible than the classical Birnbaum-Saunders distribution in terms of asymmetry and kurtosis. We discuss maximum likelihood estimation of the model parameters and associated regression model. Two real data set are analysed and the results reveal that the proposed model better some other models proposed in the literature.

El análisis de regresión es una técnica muy utilizada en diferentes áreas de conocimiento humano, con diferentes distribuciones para el término de error, sin embargo los modelos de regresión con el termino de error siguiendo una distribución bimodal no son comunes en la literatura, tal vez por la simple razón de no tratar con errores con distribución bimodal. En este trabajo proponemos un camino sencillo para hacer frente a modelos de regresión bimodal con una distribución simétrica - asimétrica para el término de error para la cual para algunos valores del parámetro de forma esta puede ser bimodal. Esta nueva distribución contiene a la distribución normal y la distribución normal asimétrica como casos especiales. Una aplicación con datos reales muestra que el nuevo modelo puede ser extremadamente útil en algunas situaciones.

Regression analysis is a technique widely used in different areas of human knowledge, with distinct distributions for the error term. It is the case, however, that regression models with the error term following a bimodal distribution are not common in the literature, perhaps due to the lack of simple to deal with bimodal error distributions. In this paper, we propose a simple to deal with bimodal regression model with a symmetric-asymmetric distribution for the error term for which for some values of the shape parameter it can be bimodal. This new distribution contains the normal and skew-normal as special cases. A real data application reveals that the new model can be extremely useful in such situations.

Birnbaum & Saunders (1969b) presentaron una distribución de probabilidad para explicar los datos de supervivencia y estrés producidos sobre los materiales. Basados en esta distribución, proponemos una generalización de la distribución Birnbaum-Saunders, la cual llamamos distribución Birnbaum-Saunders de riesgo proporcional, incluyendo un nuevo parámetro que proporciona una mayor flexibilidad en términos de asimetría y curtosis comparado con los modelos existentes. Derivamos las principales propiedades del modelo. Discutimos la estimación de máxima verosimilitud de los parámetros del modelo. Como un paso natural, definimos el modelo de regresion log-lineal Birnbaum-Saunders de riesgo proporcional. Presentamos una aplicación con un conjunto de datos reales con el propósito de ilustrar la utilidad del modelo propuesto. Los resultados mostraron que el modelo Birnbaum-Saunders de riesgo proporcional puede ser utilizado efectivamente en el análisis de datos de supervivencia, problemas de confiabilidad y estudios de resistencia a la fatiga.

Birnbaum & Saunders (1969b) used a probability distribution to explain the lifetime data and stress produced in materials. Based on this distribution, we propose a generalization of the Birnbaum-Saunders distribution, referred to as the proportional hazard Birnbaum-Saunders distribution, which includes a new parameter that provides more flexibility in terms of skewness and kurtosis than existing models. We derive the main properties of the model. We discuss maximum likelihood estimation of the model parameters. As a natural step, we define the log-linear proportional hazard Birnbaum-Saunders regression model. An empirical application to a real data set is presented in order to illustrate the usefulness of the proposed model. The results showed that the proportional hazard Birnbaum-Saunders model can be used quite effectively in analyzing survival data, reliability problems and fatigue life studies.

El lactosuero acidificado espontáneamente pone en riesgo la salud del consumidor al utilizarlo como acidificante de la leche usada en la elaboración del queso tipo mozzarella, y además reduce la calidad del producto. El objetivo de esta investigación fue evaluar el proceso de fermentación del lactosuero ácido (entero y desproteinizado) con Lactobacillus casei, utilizando diferentes porcentajes de su inóculo. Se caracterizaron fisicoquímicamente los lactosueros, sometiéndolos a fermentación anaeróbica a 37°C y 120 rpm por 96 h. Se evaluó la concentración de biomasa celular, el consumo de lactosa, la producción de ácido láctico (AL) y se estimaron los parámetros cinéticos y estequiométricos. Se aplicó un diseño experimental completamente al azar con arreglo factorial 2x3, empleando la metodología de medidas repetidas. Los datos, se procesaron a través de los paquetes estadísticos SAS® versión 9 y Statgraphics Centurión XVI®. El lactosuero, entero y desproteinizado, se encontró dentro de los intervalos fisicoquímicos aceptables para su acidificación. Los valores de acidez fueron superiores a 120 Grados Dornic (120°D) con la inoculación de L. casei, excepto en lactosuero desproteinizado, inoculado con 15% de cultivo. El lactosuero entero con 15% de inóculo, alcanzo 120°D en el menor tiempo (34h). Altas concentraciones de inóculo (15%) favorecieron la acidificación en el lactosuero entero, mostrando la mayor producción (20.83gAL/l), Y´p/s=0.86, Qp=0.173gAL/l*h; mientras el lactosuero desproteinizado mostró un mayor crecimiento microbiano, menor conversión de lactosa (8.2%) y menor producción media de ácido láctico (8.19g/l).

The spontaneously acidified whey threatens consumer health and reduces quality of mozzarella cheese. The goal of this research was to evaluate the acidification process of acid whey (whole and deproteinized) by fermentation with different inoculum concentrations of Lactobacillus casei. The whey was physicochemically characterized and anaerobically fermented at 37°C and120 rpm during 96h. Cellular biomass was evaluated, as well as lactose consumption, lactic acid production, kinetic and stoichiometric parameters were estimated. A completely randomized design with factorial arrangement (2x3) was applied by using the repeated measures methodology. Data was processed by using SAS® statistical package, version 9 and Statgraphics Centurion XVI®. The acidification for the whole and deproteinized whey was found within the acceptable intervals. Acidification values were above 120 degrees Dornic (120°D) with L. casei inoculation, except in the deproteinized whey inoculated with 15% of inoculum. The whole whey with 15% of inoculum reached 120°D in the shortest time (34 hours). High concentrations of inoculum (15%) aided the acidification in whole whey and showed the highest production (20.83 g LA/l), and p/s=0.86, Qp=0.173 g AL/l*h; on the other hand, the deproteinized whey showed the highest microbial growth, lowest conversion of lactose (8.2%) and lowest lactic acid production (8.19g/l).

En este artículo se introduce una forma de distribución asimétrica para datos no-negativos llamada distribución log hazard proporcional (LPHF). Esta nueva distribución es usada para estudiar un modelo de regresión asimétrico para datos con respuestas limitadas (censuradas) a través de mezclas de una distribución Bernoulli con función link logit y la distribución LPHF. Propiedades de la distribución LPHF son estudiadas, se abordan las estimaciones de máxima verosimilitud de los parámetros y las matrices de información. Se presenta una ilustración con datos reales, donde se muestra que el modelo propuesto es una nueva alternativa para estudios con datos positivos censurados.

In this paper we introduce a kind of asymmetric distribution for non-negative data called log-proportional hazard distribution (LPHF). This new distribution is used to study an asymmetrical regression model for data with limited responses (censored) through the mixture of a Bernoulli distribution with logit link and the LPHF distribution. Properties of the LPHF distribution are studied, maximum likelihood parameter estimation and information matrices are addressed. An illustration with real data shows that the model is a new alternative for studies with positive data censored.

Se definen dos nuevas distribuciones de probabilidad: modelo unibimodal simétrico con función de riesgo proporcional a la distribución normal y modelo unibimodal asimétrico con función de riesgo proporcional a la distribución normal asimétrica. Estos modelos permiten ajustar datos censurados con comportamiento bimodal y altos (o bajos) niveles de curtosis comparado con la curtosis de la distribución normal y altos (o bajos) niveles de asimetría. Además, se estiman los parámetros de los modelos por máxima verosimilitud y se determina la matriz de información observada. La flexibilidad de la nueva distribución se ilustra ajustando un conjunto de datos reales: el número de moléculas de ARN VIH-1 por mililitros de sangre medida en personas con pruebas confirmadas de presencia del VIH.

We define two new probability distributions, unibimodal symmetric model with proportional hazard function to the normal distribution and unibimodal asymmetric model with proportional hazard function to the skewnormal distribution. These models allow adjust censored data with bimodal behavior and high (or low) levels of kurtosis compared with kurtosis of the normal distribution and high (or low) levels of asymmetry. The model parameters are estimated by maximum likelihood and the observed information matrix is determined. The flexibility of the new distribution is illustrated by adjusting a set of real data, the number of molecules of HIV-1 RNA per milliliter of blood measured in individuals with confirmed test of the presence of HIV

Se introducen los modelos potencia alfa simétricos asimétricos bimodales censurados con el fin de ajustar datos censurados con bimodalidad y altos niveles de sesgo y curtosis. Los momentos correspondientes son calculados, se considera la estimación máximo verosímil para los parámetros del modelo y se deriva la matriz de información observada. Se muestra la utilidad de los modelos propuestos a través de dos aplicaciones con datos censurados reales relacionados con la medición de HIV-1 RNA.

We introduce the censored bimodal symmetric-asymmetric alpha-power models to adjust censored data with bimodality and high levels of skewness and kurtosis. The moments corresponding are computed, the maximum likelihood estimation for the model parameters is considered and the observed information matrix is derived. We show the appropriateness of the proposed models through two applications with censored real data related to HIV-1 RNA measurement.

Presentamos una nueva familia de distribuciones para datos positivos basada en el modelo skew-normal alpha-power (PSN), incluyendo un nuevo parámetro el cual hace el modelo log-skew-normal alpha-power (LPSN) más flexible que los modelos log-normal (LN) y log-skew-normal (LSN). El\linebreak modelo LPSN contiene el modelo LN y el modelo LSN como casos particulares. Además, modela datos positivos con asimetría y curtosis más allá de lo permitido por la distribución LN. Datos de precipitación ilustran la utilidad del modelo LPSN siendo menos influenciado por outliers.

We present a new set of distributions for positive data based on a skew-normal alpha-power (PSN) model including a new parameter which in turn makes the log-skew-normal alpha-power (LPSN) model more flexible than both the log-normal (LN) model and log-skew-normal (LSN) model. The LPSN model contains the LN model and LSN model as special cases. Furthermore, it models positive data with asymmetry and kurtosis larger than the one permitted by the LN distribution. Precipitation data illustrates the usefulness of the LPSN model being less influenced by outliers.

Consideramos una función de distribución continua arbitraria F(x) con función de densidad de probabilidad f(x)=dF(x)/dx y función de riesgo h f(x)=f(x)/[1-F (x)]. En este artículo proponemos una nueva familia de distribuciones cuya función de riesgo es proporcional a la función de riesgo h f(x). El modelo propuesto puede ajustar datos con alta asimetría o curtosis fuera del rango de cobertura permitido por la distribución normal, t-Student, logística, entre otras. Estimamos los parámetros del modelo usando máxima verosimilitud, verosimilitud perfilada y el método elemental de percentiles. Calculamos las matrices de información esperada y observada. Consideramos test de verosimilitudes para algunas hipótesis de interés en el modelo con función de riesgo proporcional a la distribución normal. Presentamos una aplicación con datos reales que ilustra que el modelo propuesto es adecuado.

We consider an arbitrary continuous cumulative distribution function F(x) with a probability density function f(x) = dF(x)/dx and hazard function h f(x)=f(x)/[1-F(x)]. We propose a new family of distributions, the so-called proportional hazard distribution-function, whose hazard function is proportional to h f(x). The new model can fit data with high asymmetry or kurtosis outside the range covered by the normal, t-student and logistic distributions, among others. We estimate the parameters by maximum likelihood, profile likelihood and the elemental percentile method. The observed and expected information matrices are determined and likelihood tests for some hypotheses of interest are also considered in the proportional hazard normal distribution. We show an application to real data, which illustrates the adequacy of the proposed model.